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高考數學復習技巧:近代數學的新征程,微積分的建立

2019-04-19 18:15:46 來源:啟達教育網

高考數學復習技巧:近代數學的新征程,微積分的建立。想必人人都熟悉牛頓說過一句話:如果我比別人看得更遠些,那是因為我站在巨人的肩膀上。解析幾何的問世,使得代數方法應用于幾何;當時的科學技術對變量的研究提出了更高要求,變量也被引入數學,成為微積分的基石;另一個關鍵因素則是函數概念的建立。17世紀上半葉,歐洲取得了天文學和力學領域的重大進展。

微積分的先驅

解析幾何的問世,使得代數方法應用于幾何;當時的科學技術對變量的研究提出了更高要求,變量也被引入數學,成為微積分的基石;另一個關鍵因素則是函數概念的建立。17世紀上半葉,歐洲取得了天文學和力學領域的重大進展。極具代表的人物是開普勒和伽利略。開普勒的行星運動定理正是用了積分中“微元法”,用無數無限小的元素之和去求曲邊形的面積和旋轉體的體積,把阿基米德發明的球體積公式做了進一步的一般推廣。伽利略的門徒卡瓦列利則發展了“不可分量”的理論,即線、面、立體分別是由無限多個點、線、面組成。因此,他給出了正整數冪函數的定積分;英國數學家沃利斯則給出了根式函數的定積分。笛卡爾和巴羅分別采用代數方法“圓法”和幾何方法“微分三角形”的方法,試圖求得一般曲線的切線;費爾馬則用微分學的方法求取函數的極值。

站在巨人的肩膀上

想必人人都熟悉牛頓說過一句話:如果我比別人看得更遠些,那是因為我站在巨人的肩膀上。這當然不難理解,牛頓的重大發現是在前人的基礎上的,微積分也是如此。在牛頓之前,已有費爾馬這些先驅,已經意識到微積分的一些方法,這些人就是牛頓眼里的巨人了。

牛頓在1665年11月發明了“正流數術”(微分學),次年發明了“反流數術”。與之前研究微積分的學者不同,牛頓把微分和積分作為矛盾的對立面一起考慮。牛頓從運動學的角度在《流數法與無窮級數》中對微分和積分給出了廣泛明確的說明。只是他把變量稱作“流”,變量的變化率叫做“流數”,因此成為“流數術”。牛頓將他的正、反流數術應用于切線、曲率、拐點、曲線長度、引力等問題的計算。

比牛頓稍晚一些,德國數學家萊布尼茨獨立地從幾何學的角度發現微積分理論,只是萊布尼茨更早的發表。因此,引發了持久的優先爭論。萊布尼茨最先在帕斯卡爾的一篇關于圓的論文中獲得靈感;萊布尼茨引入了積分符號,給出了冪級數的微分和積分公式;對微積分,萊布尼茨意識到“求切線不過是求差,求積不過是求和”;確定了微積分基本定理。

萊布尼茨在巴黎的四年里,幸運的遇見了惠更斯,得到了惠更斯的悉心指導。由于那個時代的數學基礎還十分有限,而萊布尼茨勤奮好學,萊布尼茨在數學上發明了微積分;發明了二進制,并制造了機械計算機;建立了行列式理論;發現了圓周率的無限級數表達式

高考數學復習技巧:近代數學的新征程,微積分的建立

圓周率的級數表示

這個公式結束了圓周率的精確計算的競爭,要知道在古代的數學上,圓周率的研究和計算一定程度上代表了該時代的數學水平。

萊布尼茨的數學學習雖然得到了惠更斯的指導,但他真正的老師好像是費爾馬和帕斯卡爾,萊布尼茨在數學上的一生成就,大都與帕斯卡爾有著密切的關系,他始終關注著帕斯卡爾的研究。這在西方的數學史上并不罕見,反而是中國的古代數學所欠缺的。對于萊布尼茨來說,惠更斯、費爾馬、尤其帕斯卡爾就是他的巨人。數學的研究需要這樣的傳承。

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